Под знаком корня может быть отрицательное число

Корень из числа: определения, примеры

под знаком корня может быть отрицательное число

Эта статья про корень из числа: даны определения квадратного, кубического корней и корня n-ой степени, показаны обозначения, приведены примеры. Корень n {\displaystyle n} n -й степени из числа a {\displaystyle a} a определяется как такое символ (знак корня) в правой части называется радикалом. корня могут быть два значения (положительное и отрицательное), и это . Корень нечётной степени из отрицательного числа — отрицательное число. квадратный корень, извлечение, метод, пример, определение. Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби. . числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным.

Только оно базируется на понятии куба числа, а не квадрата. Определение Кубическим корнем из числа a называется число, куб которого равен a. Приведем примеры кубических корней.

под знаком корня может быть отрицательное число

Можно показать, что кубический корень из числа a, в отличие от квадратного корня, всегда существует, причем не только для неотрицательных a, но и для любого действительного числа a. Для этого можно использовать тот же способ, о котором мы упоминали при изучении квадратного корня. Более того, существует только единственный кубический корень из данного числа a.

Для этого отдельно рассмотрим три случая: Легко показать, что при положительном a кубический корень из a не может быть ни отрицательным числом, ни нулем. Итак, кубический корень из положительного числа a является положительным числом. Теперь предположим, что помимо числа b существует еще один кубический корень из числа a, обозначим его c.

Этим доказана единственность кубического корня из положительного числа a. Для отрицательных a можно привести рассуждения, аналогичные случаю для положительных a. Во-первых, показываем, что кубический корень из отрицательного числа не может быть равен ни положительному числу, ни нулю.

Во-вторых, предполагаем, что существует второй кубический корень из отрицательного числа и показываем, что он обязательно будет совпадать с первым. Итак, всегда существует кубический корень из любого данного действительного числа a, причем единственный. Дадим определение арифметического кубического корня. Определение Арифметическим кубическим корнем из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, куб которого равен a.

  • Корень степени n: основные определения
  • Корень n-ой степени: определения, обозначение, примеры
  • Найти модуль с корнем

Арифметический кубический корень из неотрицательного числа a обозначается какзнак называется знаком арифметического кубического корня, число 3 в этой записи называется показателем корня. Число под знаком корня — это подкоренное число, выражение под знаком корня — это подкоренное выражение. Хотя арифметический кубический корень определяется лишь для неотрицательных чисел a, но удобно также использовать записи, в которых под знаком арифметического кубического корня находятся отрицательные числа.

Понимать их будем так: О свойствах кубических корней мы поговорим в общей статье свойства корней. Вычисление значения кубического корня называется извлечением кубического корня, это действие разобрано в статье извлечение корней: Корень n-ой степени, арифметический корень степени n Обобщим понятие корня из числа — введем определение корня n-ой степени для натуральных чисел n. Определение Корень n-ой степени из числа a — это число, n-я степень которого равна a.

То есть, квадратный корень — это корень второй степени, а кубический корень — корень третьей степени. Это связано с тем, что корни четных степеней аналогичны квадратному корню, а корни нечетных степеней — кубическому.

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Разберемся с ними по очереди. Начнем с корней, степенями которых являются четные числа 4, 6, 8, … Как мы уже сказали, они аналогичны квадратному корню из числа a. То есть, корень любой четной степени из числа a существует лишь для неотрицательного a.

Первые два равенства означают, что числа b и c равны или b и c — противоположны. Что касается корней n-ой степени при нечетных n, то они аналогичны кубическому корню. То есть, корень любой нечетной степени из числа a существует для любого действительного числа a, причем для данного числа a он является единственным.

Теперь, продвигаясь последовательно к выражениям в скобках предыдущих степеней вложенности, убеждаемся, что они также положительны как суммы положительных чисел.

Пришло время разобраться с обозначениями корней n-ой степени. Для этого дается определение арифметического корня n-ой степени. Определение Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Арифметический корень n-ой степени из неотрицательного числа a обозначается.

под знаком корня может быть отрицательное число

Число a называют подкоренным числом, а число n — показателем корня. Для примера рассмотрим записьздесь подкоренным числом является ,36, а показатель корня равен 5. Несмотря на то, что определение арифметического корня n-ой степени, а также его обозначение введены для неотрицательных подкоренных чисел, мы в целях удобства для нечетных показателей корня и отрицательных подкоренных чисел будем использовать записи видакоторые будем понимать как.

Корням же четной степени с отрицательными подкоренными числами мы не будем придавать никакого смысла до начала изучения комплексных чисел. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте. А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях: Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом.

Для отрицательных чисел такой корень неопределён. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями. Основные свойства и ограничения У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Запишем это свойство в виде формулы: О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике.

Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений то есть уравнений, содержащих знак радикалаученики дружно забывают эту формулу. Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом: Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают.

Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий: Сначала число возводится в четвёртую степень.

под знаком корня может быть отрицательное число

Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти; И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Раберёмся с первым выражением: Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем: Дальше вновь извлекаем корень: В противном случае корень не определён.

Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем. Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей. Вынесение минуса из-под знака корня Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных.

Теперь не нужно переживать: И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Арифметический корень Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Как видим, нас больше не интересует чётность.

Взамен неё появилось новое ограничение: Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы: Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются. Например, правило возведения в степень: Почему мы не могли сделать это раньше? Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни.

под знаком корня может быть отрицательное число

Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым. В итоге решил оставить. Это называется алгебраическим корнем. Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху: А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов: Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа; Множество, состоящее из одного-единственного элемента.

Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа. Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения.

Извлечение корней: методы, способы, решения

Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу. С первым выражением всё просто: Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.

Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую то есть чётную! Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.: